Question

14．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，左，右焦点为F₁，F₂，上顶点为P，圆C：（x-2a）²+（y-b）²=4恰好与直线PF₁相切．
（1）求圆C的方程；
（2）过椭圆的上顶点是否存在一条直线L与圆C交于A，B两点，且$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=\frac{92}{5}$，若存在，求出直线L的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率公式e=$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，即\frac{{{a^2}-{b^2}}}{a^2}=\frac{3}{4}$，由圆C：（x-2a）²+（y-b）²=4恰好与直线PF₁相切．根据点到直线的位置关系，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）当直线l的斜率不存在时，其方程为x=0，与圆C相离，不符合条件，当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+1，代入椭圆方程，由△＞0，求得${k^2}＜\frac{1}{3}$．根据韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得k的值，与k的取值范围比较，即可求得这样的直线不存在．

解答 解：（1）设点F₁（-c，0），由椭圆的离心率可得：$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，即\frac{{{a^2}-{b^2}}}{a^2}=\frac{3}{4}$
所以：a=2b，则$c=\sqrt{3}b$（2分）
则PF₁的方程为$x-\sqrt{3}y+\sqrt{3}b=0$，
由圆C与直线PF₁相切可得$\frac{{|{2a-\sqrt{3}b+\sqrt{3}b}|}}{2}=2，即a=2$，则b=1
所以，圆C的方程为（x-4）²+（y-1）²=4（4分）
（2）不存在，理由如下：
当直线l的斜率不存在时，其方程为x=0，与圆C相离，不符合条件；
当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+1，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{{（x-4）}^2}+{{（y-1）}^2}=4}\end{array}}\right.$可得（k²+1）x²-8x+12=0，
由△=（-8）²-4×12×（k²+1）＞0，可得${k^2}＜\frac{1}{3}$．
设$A（{x_{^1}}，{y_1}），B（{x_2}，{y_2}）$，则${x_1}+{y_1}=\frac{8}{{{k^2}+1}}，{x_1}{y_1}=\frac{12}{{{k^2}+1}}$（8分）
$\overrightarrow{CA}=（{x_1}-4，{y_1}-1）$，$\overrightarrow{CB}=（{x_2}-4，{y_2}-1）$，
$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}={x_1}{x_2}-4（{x_1}+{x_2}）+16+{k^2}{x_1}{x_2}$=$28-\frac{32}{{{k^2}+1}}$
由$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=\frac{92}{5}$可得$28-\frac{32}{{{k^2}+1}}$=$\frac{92}{5}$即$\frac{32}{{{k^2}+1}}=\frac{48}{5}$
解得$k=±\frac{{\sqrt{21}}}{3}$，
不符合${k^2}＜\frac{1}{3}$，均舍去
所以不存在满足题意的直线l．  （12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，一元二次方程根与系数的关系及判别式，考查向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．