Question

16．已知函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a≥1时，求证：当x∈[1，e]时，f′（x）≥0，其中e为自然对数的底数．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，根据导数的几何意义即可求出函的切线方程．
（2）求函数的导数，讨论a的取值范围，结合一元二次不等式的解法进行求解证明即可．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=x²-3x+lnx，
则f′（x）=2x-3+$\frac{1}{x}$，
则f′（1）=2-3+1=0，f（1）=1-3+ln1=-2，
即切点坐标为（1，-2），
则y=f（x）在点（1，-2）处的切线方程为y+2=0，即y=-2．
（2）函数的定义域为（0，+∞），
则f′（x）=2ax-（a+2）+$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}-（a+2）x+1}{x}$=$\frac{（2x-1）（ax-1）}{x}$，
若a≥1，则由f′（x）=0得x=$\frac{1}{2}$或x=$\frac{1}{a}$，
由若a=2，则f′（x）=$\frac{（2x-1）^{2}}{x}$≥0，此时当x∈[1，e]时，f′（x）≥0成立，
若a＞2，由f′（x）≥0得x≥$\frac{1}{2}$或0＜x≤$\frac{1}{a}$，即当x∈[1，e]时，f′（x）≥0成立，
若1≤a＜2，由f′（x）≥0得x≥$\frac{1}{a}$或0＜x≤$\frac{1}{2}$，即当x∈[1，e]时，f′（x）≥0成立，
综上当x∈[1，e]时，f′（x）≥0恒成立．

点评 本题主要考查导数的几何意义的应用，以及导数不等式的求解和判断，利用一元二次不等式的解法是解决本题的关键．