Question

在棱长均为2的正四棱锥P-ABCD中，点E为PC的中点，则下列命题正确的是（　　）

• A、BE∥平面PAD，且BE到平面PAD的距离为

  3

• B、BE∥平面PAD，且BE到平面PAD的距离为

  2 6

  3

• C、BE与平面PAD不平行，且BE与平面PAD所成的角大于30°
• D、BE与平面PAD不平行，且BE与平面PAD所成的角小于30°

Answer 1

分析：连接AC，BD，交点为O，以O为坐标原点，OC，OD，OP方向分别x，y，z轴正方向建立空间坐标系，分别求出直线BE的方向向量与平面PAD的法向量，代入向量夹角公式，求出BE与平面PAD夹角的正弦值，再由正弦函数的单调性，即可得到答案．

解答：解：连接AC，BD，交点为O，以O为坐标原点，OC，OD，OP方向分别x，y，z轴正方向建立空间坐标系
由正四棱锥P-ABCD的棱长均为2，点E为PC的中点，
则O（0，0，0），A（-

2

，0，0），B（0，-

2

，0），C（

2

，0，0），D（0，

2

，0），P（0，0，

2

），E（

2

2

，0，

2

2

）
则

BE

=（

2

2

，

2

，

2

2

），

PA

=（-

2

，0，-

2

），

PD

=（0，

2

，-

2

），
设

m

=（x，y，z）是平面PAD的一个法向量，则

m

⊥

PA

，且

m

⊥

PD

即

- 2 x- 2 z=0 2 y- 2 z=0

，令x=1
则

m

=（1，-1，-1）是平面PAD的一个法向量，
设BE与平面PAD所成的角为θ
则sinθ=|

m • BE

| m |•| BE |

|=

2

3

＜

1

2

故BE与平面PAD不平行，且BE与平面PAD所成的角小于30°
故选D

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中建立适当的空间坐标系，将直线与平面的夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．