Question

8．已知两个不相等的非零向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$，两组向量$\overrightarrow{{x}_{1}}，\overrightarrow{{x}_{2}}，\overrightarrow{{x}_{3}}，\overrightarrow{{x}_{4}}，\overrightarrow{{x}_{5}}$和$\overrightarrow{{y}_{1}}，\overrightarrow{{y}_{2}}，\overrightarrow{{y}_{3}}，\overrightarrow{{y}_{4}}，\overrightarrow{{y}_{5}}$均由2个$\overrightarrow{a}$和3个$\overrightarrow{b}$排成一列而成．记$\overrightarrow{{x}_{1}}•\overrightarrow{{y}_{1}}+\overrightarrow{{x}_{2}}•\overrightarrow{{y}_{2}}+\overrightarrow{{x}_{3}}•\overrightarrow{{y}_{3}}+\overrightarrow{{x}_{4}}•\overrightarrow{{y}_{4}}+\overrightarrow{{x}_{5}•\overrightarrow{{y}_{5}}}$，S_min表示S所有可能取值中的最小值，则下列正确的是（　　）

• A． ${S_{min}}={a^2}+2ab+2{b^2}$
• B． ${S_{min}}=2{a^2}+3{b^2}$
• C． 若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则S_min与|$\overrightarrow{a}$|无关
• D． S有5个不同的值

Answer 1

分析 依题意，可求得S有三种结果，${S}_{1}=2{\overrightarrow{a}}^{2}+3{\overrightarrow{b}}^{2}$，${S}_{2}={\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+2{\overrightarrow{b}}^{2}$，${S}_{3}=4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$，可判断①错误；进一步分析有S₁-S₂=S₂-S₃=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$≥${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}-2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$=$（|\overrightarrow{a}|-|\overrightarrow{b}|）^{2}≥0$，即S中最小为S₃，再对A、B、C逐一分析得答案．

解答 解：∵x_i，y_i（i=1，2，3，4，5）均由2个a和3个b排列而成，
∴S可能情况有以下三种：
${S}_{1}=2{\overrightarrow{a}}^{2}+3{\overrightarrow{b}}^{2}$，${S}_{2}={\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+2{\overrightarrow{b}}^{2}$，${S}_{3}=4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$，故D错误；
∵S₁-S₂=S₂-S₃=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$≥${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}-2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$=$（|\overrightarrow{a}|-|\overrightarrow{b}|）^{2}≥0$，
∴S中最小为S₃，
若$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$，则S_min=S₃=$4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$，∴A，B错误；
若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则S_min=${S}_{3}={\overrightarrow{b}}^{2}$，与$|\overrightarrow{a}|$无关，与$|\overrightarrow{b}|$有关，故C正确．
故选：C．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的数量积的综合运用，考查推理、分析与运算能力，是中档题．