Question

5．若定义在R上的可导函数f（x）是奇函数，且对?x∈[0，+∞），f'（x）＞0恒成立．如果实数t满足不等式f（lnt）-f（ln$\frac{1}{t}$）＜2f（1），则t的取值范围是（0，e）．

Answer 1

分析 先根据对数的运算性质和函数的奇偶性性化简不等式，然后利用函数是奇函数得到不等式f（lnt）＜f（1）即lnt＜（1），解得即可．

解答 解：∵对?x∈[0，+∞），f'（x）＞0恒成立，
∴f（x）在[0，+∞）为增函数，
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（x）在R上为增函数，
∴f（lnt）-f（ln$\frac{1}{t}$）=f（lnt）-f（-lnt）=f（lnt）+f（lnt）=2f（lnt），
∴不等式等价为2f（lnt）＜2f（1），
即f（lnt）＜f（1）．
∴lnt＜1，
解得0＜t＜e，
即实数t的取值范围是（0，e）
故答案为：（0，e）

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，先利用对数的性质将不等式进行化简是解决本题的突破点．