Question

已知定义在实数集R上的函数f（x）满足：①对任意实数都有f（x+2）=f（x）；②当x∈[-1，1]时，f（x）=cos

π

2

x．若关于x方程f（x）=a在区间[0，3]上恰有三个不同的实数解x₁，x₂，x₃，则x₁+x₂+x₃的取值范围为（　　）

• A、（2，3）
• B、（3，4）
• C、（4，5）
• D、（5，6）

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数的周期性，作出函数f（x）的图象，利用函数的对称性以及数形结合即可得到结论．

解答： 解：由f（x+2）=f（x）得函数的周期为2；
当x∈[-1，1]时，f（x）=cos

π

2

x．
作出函数f（x）在区间[0，3]上的图象如图，
∵关于x方程f（x）=a在区间[0，3]上恰有三个不同的实数解x₁，x₂，x₃，
∴不妨设x₁＜x₂＜x₃，
则满足0＜x₁＜1，x₂，x₃，关于x=2对称，即x₂+x₃=4，
则x₁+x₂+x₃=4+x₁，
∵0＜x₁＜1，∴4＜4+x₁＜5，
即x₁+x₂+x₃的取值范围为（4，5），
故选：C

点评：本题主要考查函数与方程的应用，利用函数的周期性和对称性，利用数形结合是解决本题的关键．