Question

15．已知f（x）=x²+bx+c（b，c∈R，b＜0）．
（1）若f（x）的定义域为[0，1]时，值域也是[0，1]，求b，c的值；
（2）若b=-2时，若函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$对任意x∈[3，5]，g（x）＞c恒成立，试求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）讨论对称轴x=-$\frac{b}{2}$ 在区间[0，1]的位置关系，列出等式，解出a，b；
（2）若b=-2时，若函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$对任意x∈[3，5]，g（x）＞c恒成立，即可转化为：即c＜$\frac{{x}^{2}-2x}{x-1}$对x∈[3，5]恒成立．

解答 解：（1）二次函数f（x）=x²+bx+c的对称轴是x=-$\frac{b}{2}$，开口向上   
①当0＜-$\frac{b}{2}$≤$\frac{1}{2}$，即-1≤b＜0
$\left\{\begin{array}{l}{f（-\frac{b}{2}）=0}\\{f（1）=1}\end{array}\right.$ 解得b=-4，c=4，不合题意；
②当$\frac{1}{2}$$＜-\frac{b}{2}＜1$，即-2＜b＜-1；
$\left\{\begin{array}{l}{f（-\frac{b}{2}）=0}\\{f（0）=1}\end{array}\right.$解得b=-2，c=1，不符合，舍去．          
③当-$\frac{b}{2}≥1$，即b≤2   $\left\{\begin{array}{l}{f（0）=1}\\{f（1）=0}\end{array}\right.$ 解得b=-2，c=1，符合． 
∴b=-2，c=1                                     
（2）若b=-2时，若函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$对任意x∈[3，5]，g（x）＞c恒成立，
即$\frac{{x}^{2}-2x+c}{x}＞c$对x∈[3，5]恒成立，
即x²-（2+c）x+c＞0对x∈[3，5]恒成立．                     
即c＜$\frac{{x}^{2}-2x}{x-1}$对x∈[3，5]恒成立，c＜（x-1）-$\frac{1}{x-1}$
令h（x）=（x-1）-$\frac{1}{x-1}$，h（x）在x∈[3，5]为单调递增函数
∴h（x）_min=h（3）=$\frac{3}{2}$∴c＜$\frac{3}{2}$

点评 本题主要考查了二次函数的性质，分离参数法以及转化思想的应用，属中等题．