Question

如图所示，已知，在边长为1的正方形ABCD的一边上取一点E，使AE＝AD，从AB的中点F作HF⊥EC于H．

(1)求证：FH＝FA；

(2)求EH∶HC的值．

 

Answer 1

（1）见解析 （2）1∶4

【解析】【解析】
(1)证明：连接EF，FC，在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC，∠A＝∠B＝90°．

∵AE＝AD，F为AB的中点，

∴＝．

∴△EAF∽△FBC，

∴∠AEF＝∠BFC，∠EFA＝∠BCF．

又∠A＝∠B＝90°，

∴∠EFC＝90°，＝．

又∵∠EFC＝∠B＝90°，∴△EFC∽△FBC．

∴∠HEF＝∠BFC，∠ECF＝∠BCF．

∴∠AEF＝∠HEF，∠AFE＝∠HFE，又EF＝EF，

∴△EAF≌△EHF，∴FH＝FA．

(2)由(1)知△EFC是直角三角形，FH是斜边EC上的高，

由射影定理可得EF2＝EH·EC，FC2＝CH·CE，于是EH∶HC＝EF2∶FC2．

由(1)得＝，于是EH∶HC＝EF2∶FC2＝1∶4．