Question

13．数列{a_n}通项a_n=2-（$\frac{x+3}{x}$）ⁿ，若$\underset{lim}{n→∞}$a_n=2，则x的取值范围是（　　）

• A． （0，-$\frac{3}{2}$]
• B． （0，-$\frac{3}{2}$）
• C． （-∞，-$\frac{3}{2}$）
• D． （-∞，-$\frac{3}{2}$]

Answer 1

分析 由$\underset{lim}{n→∞}$a_n=2，得$\underset{lim}{n→∞}（1+\frac{3}{x}）^{n}=0$，可得-1$＜1+\frac{3}{x}＜1$，求解分式不等式组得答案．

解答 解：由a_n=2-（$\frac{x+3}{x}$）ⁿ，且$\underset{lim}{n→∞}$a_n=2，得：
$\underset{lim}{n→∞}[2-（1+\frac{3}{x}）^{n}]$=$\underset{lim}{n→∞}2-\underset{lim}{n→∞}（1+\frac{3}{x}）^{n}=2$，
∴$\underset{lim}{n→∞}（1+\frac{3}{x}）^{n}=0$，则-1$＜1+\frac{3}{x}＜1$，解得：x$＜-\frac{3}{2}$．
∴x的取值范围是（-∞，-$\frac{3}{2}$）．
故选：C．

点评 本题考查极限及其运算，是基础的计算题．