Question

15．已知f（x）=$\frac{[sin（\frac{π}{2}-x）tan（π-x）]^{2}-1}{4sin（\frac{3π}{2}+x）+cos（π-x）+cos（2π-x）}$
（1）求f（-1860°）；
（2）若方程f²（x）+（1+$\frac{1}{2}$a）sinx+2a=0在x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{3π}{4}$]上有两根，求实数a的范围．
（3）求函数y=4af²（x）+2cosx（a∈R）的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式化简可得f（x）=$-\frac{1}{2}sinx$，进而利用诱导公式即可求得f（-1860°）的值；
（2）由（1）化简可得（sinx+4）（sinx+2a）=0，求得sinx=-2a，由x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{3π}{4}$]时，可得$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤-2a＜1，即可解得a的取值范围．
（3）把确定出的f（x）解析式代入函数解析式中整理，分a=0，a＞0与a＜0三种情况求出y的最大值即可．

解答 （本题满分为16分）
解：（1）∵f（x）=$\frac{[sin（\frac{π}{2}-x）tan（π-x）]^{2}-1}{4sin（\frac{3π}{2}+x）+cos（π-x）+cos（2π-x）}$=$-\frac{1}{2}sinx$，（2分）
∴$f（-{1860°}）=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$…（4分）
（2）∵f²（x）+（1+$\frac{1}{2}$a）sinx+2a=0，
即$\frac{1}{4}$sin²x+（1+$\frac{1}{2}$a）sinx+2a=0，
整理得，sin²x+（4+2a）sinx+8a=0，即（sinx+4）（sinx+2a）=0，
∴sinx=-2a，…（7分）
当x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{3π}{4}$]时，sinx∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤-2a＜1，解得-$\frac{1}{2}$＜a≤-$\frac{\sqrt{2}}{4}$…（10分）
（3）y=-acos²x+2cosx+a，
1^°当a=0时，y=2cosx，y_max=2；
2°令cosx=t，则y=-at²+2t+a，t∈[-1，1]，…（12分）
当a＞0时，-a＜0，对称轴为$t=\frac{1}{a}$，
①若$\frac{1}{a}＞1$，即0＜a＜1时，y_max=-a+2+a=2；
②若$0＜\frac{1}{a}≤1$，即a≥1时，${y_{max}}=-a{（\frac{1}{a}）^2}+2（\frac{1}{a}）+a=a+\frac{1}{a}$；…（14分）
3°当a＜0时，-a＞0，对称轴$t=\frac{1}{a}＜0$，y_max=-a+2+a=2，
综上所述，当a＜1时，y_max=2，当a≥1时，${y_{max}}=a+\frac{1}{a}$．…（16分）

点评 此题考查了运用诱导公式化简求值，以及三角函数的最值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键，属于中档题．