Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{b}$|=2|$\overrightarrow{a}$|，a，b的夹角为$\frac{π}{3}$，则$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$与2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角θ为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 假设|$\overrightarrow{a}$|=1，求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，计算（$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$）²，（2$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）²，（$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$）•（2$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$），得出|$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$|，|2$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|，代入向量的夹角公式计算．

解答 解：设$|\overrightarrow{a}|$=1，则$|\overrightarrow{b}|$=2，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1×2×cos$\frac{π}{3}$=1．
∴（$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=3，（2$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）²=4${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$+4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=12，
（$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$）•（2$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）=-2${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=3，
∴|$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|2$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{3}$，
∴cosθ=$\frac{3}{\sqrt{3}×2\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$．
∴θ=$\frac{π}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．