Question

17．（x³+$\frac{1}{{x}^{2}}$）ⁿ的展开式第6项系数最大，则其展开式的常数项为210？

Answer 1

分析 ①仅第6项系数最大，${∁}_{n}^{5}$＞${∁}_{n}^{6}$，${∁}_{n}^{5}＞{∁}_{n}^{4}$，解得n，再利用通项公式即可得出．②若第6与第7项系数相等最大，③若第5与6项系数最大，同理可得．

解答 解：①仅第6项系数最大，${∁}_{n}^{5}$＞${∁}_{n}^{6}$，${∁}_{n}^{5}＞{∁}_{n}^{4}$，解得n=10，
∴T_r+1=${∁}_{10}^{r}（{x}^{3}）^{10-r}（\frac{1}{{x}^{2}}）^{r}$=${∁}_{10}^{r}$x^30-5r，
令30-5r=0，解得r=6．
∴其展开式的常数项为T₇=${∁}_{10}^{6}$=210．
②若第6与第7项系数相等最大，可得n=12，
T_r+1=${∁}_{12}^{r}（{x}^{3}）^{12-r}（\frac{1}{{x}^{2}}）^{r}$=${∁}_{12}^{r}$x^36-5r，令36-5r=0，解得r=$\frac{36}{5}$不是整数，舍去．
③若第5与6项系数最大，可得n=9，T_r+1=${∁}_{9}^{r}（{x}^{3}）^{9-r}（\frac{1}{{x}^{2}}）^{r}$=${∁}_{9}^{r}{x}^{27-5r}$，令27-5r=0，解得r=$\frac{27}{5}$不是整数，舍去．
综上可得：常数项为：210．
故答案为：210．

点评 本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．