Question

5．已知集合A=（x，y）|y=$\sqrt{{x}^{2}+2}$-lnx}，集合B={（x，y）|y=mx+n}，集合C={0，2，3}，m，n∈C，则集合D={（m，n）|A∩B≠∅}中的元素有（　　）

• A． 5个
• B． 6个
• C． 7个
• D． 8个

Answer 1

分析 令f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+2}$-lnx，定义域为（0，+∞），利用导数研究其单调性极值与最值，画出图象．

解答 解：令f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+2}$-lnx，定义域为（0，+∞），
令f′（x）=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+2}}-\frac{1}{x}$=0，
得x=$\sqrt{2}$，
当0＜x＜$\sqrt{2}$时，f′（x）＜0，
当x＞$\sqrt{2}$时，f′（x）＞0．
∴$f（\sqrt{2}）$是f（x）定义域（0，+∞）内唯一的极值，且是极小值，
故$f（\sqrt{2}）$是f（x）的最小值，如图所示．
f（$\sqrt{2}$）=2-ln$\sqrt{2}$．
∵$1＜\sqrt{2}＜e$，
∴$0＜ln\sqrt{2}＜1$，
∴$1＜f（\sqrt{2}）＜2$
分类讨论：
（m，n）∈{（0，0），（0，2），（0，3），（2，0），（2，2），（2，3），（3，0），（3，2），（3，3）}．
经过验证：只有（0，0）不满足条件．
∴集合D={（m，n）|A∩B≠∅}中的元素有8个．
故选：D．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、集合的运算性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于难题．