Question

6．已知函数f（x）=me^x-x-1（其中e为自然对数的底数，），若f（x）=0有两根x₁，x₂且x₁＜x₂，则函数y=（e${\;}^{{x}_{2}}$-e${\;}^{{x}_{1}}$）（$\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}+{e}^{{x}_{1}}}$-m）的值域为（-∞，0）．

Answer 1

分析 由零点的概念，化简函数y，令x₂-x₁=t（t＞0），$g（t）=\frac{{e}^{t}-1}{{e}^{t}+1}$-t（t＞0），求出导数，求得单调性，即可得到所求值域；

解答 解：由题意f函数f（x）=me^x-x-1，（x）=0有两根x₁，x₂且x₁＜x₂，$m{e}^{{x}_{1}}-{x}_{1}-1=0$，$m{e}^{{x}_{2}}-{x}_{2}-1=0$．  
相减可得m（${e}^{{x}_{2}}-{e}^{{x}_{1}}$）=x₂-x₁，
即有y=$\frac{{e}^{{x}_{2}}-{e}^{{x}_{1}}}{{e}^{{x}_{2}}+{e}^{{x}_{1}}}$-m（${e}^{{x}_{2}}-{e}^{{x}_{1}}$）=$\frac{{e}^{{x}_{2}}-{e}^{{x}_{1}}}{{e}^{{x}_{2}}+{e}^{{x}_{1}}}$-（x₂-x₁）
=$\frac{{e}^{{x}_{2}-{x}_{1}}-1}{{e}^{{x}_{2}-{x}_{1}}+1}$-（x₂-x₁），
令x₂-x₁=t（t＞0），$g（t）=\frac{{e}^{t}-1}{{e}^{t}+1}$-t（t＞0），
又g′（t）=$\frac{-{e}^{2t}-1}{（{e}^{t}+1）^{2}}$＜0，
∴g（t）在（0，+∞）上单调递减，
∴g（t）＜g（0）=0，
∴g（t）∈（-∞，0），
∴y=（${e}^{{x}_{2}}-{e}^{{x}_{1}}$）（$\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}+{e}^{{x}_{1}}}$-m）的值域为（-∞，0）；
故答案为：（-∞，0）．

点评 本题考查导数的运用：求函数的单调区间，考查函数方程的转化思想，以及单调性的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．