Question

4．若数列{a_n}是的递增等差数列，其中的a₃=5，且a₁，a₂，a₅成等比数列，
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{（{a}_{n}+1）（{a}_{n+1}+1）}$，求数列{b_n}的前项的和T_n．
（3）是否存在自然数m，使得$\frac{m-2}{4}$＜T_n＜$\frac{m}{5}$对一切n∈N^*恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式和等比中项的定义即可得到首项和公差，即可得到通项公式；
（2）b_n=$\frac{1}{（{a}_{n}+1）（{a}_{n+1}+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），利用“裂项求和”即可得出数列{b_n}的前n项和为T_n；
（3）先确定$\frac{1}{8}$≤T_n＜$\frac{1}{4}$，再根据使得$\frac{m-2}{4}$＜T_n＜$\frac{m}{5}$对一切n∈N^*恒成立，建立不等式，即可求得m的值．

解答 解：（1）在等差数列中，设公差为d≠0，
由题意$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{a}_{5}={{a}_{2}}^{2}}\\{{a}_{3}=5}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}（{a}_{1}+4d）=（{a}_{1}+d）^{2}}\\{{a}_{1}+2d=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=2}\end{array}\right.$．
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．
（2）由（1）知，a_n=2n-1．
则b_n=$\frac{1}{（{a}_{n}+1）（{a}_{n+1}+1）}$=$\frac{1}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
所以T_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{n}{4（n+1）}$；
（3）T_n+1-T_n=$\frac{n+1}{4（n+2）}$-$\frac{n}{4（n+1）}$=$\frac{1}{4（n+1）（n+2）}$＞0，
∴{T_n}单调递增，
∴T_n≥T₁=$\frac{1}{8}$．
∵T_n=$\frac{n}{4（n+1）}$＜$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{8}$≤T_n＜$\frac{1}{4}$
$\frac{m-2}{4}$＜T_n＜$\frac{m}{5}$对一切n∈N^*恒成立，则$\frac{1}{8}$≤$\frac{m}{5}$-$\frac{m-2}{4}$＜$\frac{1}{4}$
∴$\frac{5}{4}$≤m＜$\frac{5}{2}$
∵m是自然数，
∴m=2．

点评 本题考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，求得数列的通项与和是关键．