题目内容

如图，P1为边长为1的正三角形纸板，在P1的左下端剪去一个边长为的正三角形得到P2，然后依次剪去一个更小的正三角形（其边长为前一个被剪去的正三角形边长的一半）得到P3，P4，…，Pn，…．记纸板Pn的面积记为Sn，则=    ．
【答案】分析：根据等边三角形的性质（三边相等）求出等边三角形的周长P1，P2，P3，P4，根据周长相减的结果能找到规律即可求出答案．
解答：解：依次剪下去，那边长是以1为首项，为比例系数的等比数列，
记为bn=，
∴=，
∴=[]=0．
故答案为：0．
点评：本题主要考查对等边三角形的性质的理解和掌握，此题是一个规律型的题目，题型较好．
练习册系列答案
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已知点P1（a1，b1），P2（a2，b2），…，Pn（an，bn）（n为正整数）都在函数y=(
1
2
)x的图象上，且数列{an} 是a1=1，公差为d的等差数列．
（1）证明：数列{bn} 是公比为(
1
2
)d的等比数列；
（2）若公差d=1，以点Pn的横、纵坐标为边长的矩形面积为cn，求最小的实数t，若使cn≤t（t∈R，t≠0）对一切正整数n恒成立；
（3）对（2）中的数列{an}，对每个正整数k，在ak与ak+1之间插入2k-1个3（如在a1与a2之间插入20个3，a2与a3之间插入21个3，a3与a4之间插入22个3，…，依此类推），得到一个新的数列{dn}，设Sn是数列{dn}的前n项和，试求S1000．
已知点P1（a1，b1），P2（a2，b2），…，Pn（an，bn）（n为正整数）都在函数y=(
1
2
)x的图象上，且数列{an} 是a1=1，公差为d的等差数列．
（1）证明：数列{bn} 是等比数列；
（2）若公差d=1，以点Pn的横、纵坐标为边长的矩形面积为cn，求最大的实数t，使cn≤
1
t
（t∈R，t≠0）对一切正整数n恒成立；
（3）对（2）中的数列{an}，对每个正整数k，在ak与ak+1之间插入3k-1个3（如在a1与a2之间插入30个3，a2与a3之间插入31个3，a3与a4之间插入32个3，…，依此类推），得到一个新的数列{dn}，设Sn是数列{dn}的前n项和，试探究2008是否为数列{Sn}中的某一项，写出你探究得到的结论并给出证明．
如图，P1为边长为1的正三角形纸板，在P1的左下端剪去一个边长为
1
2
的正三角形得到P2，然后依次剪去一个更小的正三角形（其边长为前一个被剪去的正三角形边长的一半）得到P3，P4，…，Pn，…．记纸板Pn的面积记为Sn，则
lim
n→∞
Sn=
0
0
．
“雪花曲线”因其形状类似雪花而得名，它可以以下列方式产生，如图，有一列曲线P1，P2，P3…，，已知P1是边长为1的等边三角形，Pn+1是对Pn进行如下操作得到：将Pn的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（n=1，2，3…）．
（1）记曲线P1n的边长和边数分别为an和bn（n=，1，2，…），求an和bn的表达式；
（2）记Sn为曲线Pn所围成图形的面积，写出Sn与Sn-1的递推关系式，并求Sn．

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