Question

设函数f(x)＝，g(x)＝f(x)－ax，x∈[1,3]，其中a∈R，记函数g(x)的最大值与最小值的差为h(a)．

(1)求函数h(a)的解析式；

(2)画出函数y＝h(x)的图象并指出h(x)的最小值．

 

Answer 1

（1）h(a)＝

（2）见解析

【解析】【解析】
(1)由题意知g(x)＝

当a<0时，函数g(x)是[1,3]上的增函数，

此时g(x)max＝g(3)＝2－3a，

g(x)min＝g(1)＝1－a，

所以h(a)＝1－2a；

当a>1时，函数g(x)是[1,3]上的减函数，

此时g(x)min＝g(3)＝2－3a，

g(x)max＝g(1)＝1－a，

所以h(a)＝2a－1；

当0≤a≤1时，若x∈[1,2]，

则g(x)＝1－ax，有g(2)≤g(x)≤g(1)；

若x∈(2,3]，则g(x)＝(1－a)x－1，

有g(2)<g(x)≤g(3)，

因此g(x)min＝g(2)＝1－2a，

而g(3)－g(1)＝(2－3a)－(1－a)＝1－2a，

故当0≤a≤时，g(x)max＝g(3)＝2－3a，有h(a)＝1－a；

当<a≤1时，g(x)max＝g(1)＝1－a，有h(a)＝a.

综上所述，h(a)＝

(2)画出y＝h(x)的图象，如图所示，数形结合可得h(x)min＝h()＝.