Question

如图，点O是半径为l的球心，点A、B、C在此球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧

AB

与

AC

的中点，
（1）求异面直线OE与AC的夹角的大小；
（2）求点E、F在该球面上的球面距离．

Answer 1

分析：（1）连AB、BC、AC，分别取AB、BC、AC的中点D、H、M，欲求异面直线OE与AC的夹角的大小，而OE∥AC，得出∠ODH就是异面直线OE与AC所成的角或其邻补角，利用等边三角即可求出此角的大小；
（2）过E、F做AO的垂面交AO于G，求出EG，EF，然后求出∠EOF，利用扇形弧长公式求球面距离即可．

解答：解：（1）连AB、BC、AC，分别取AB、BC、AC的中点D、H、M，
则OD=OH=DH=

2

，OE=OH=EH=

2

2

，而OE∥AC
所以∠ODH就是异面直线OE与AC所成的角或其邻补角，等于

π

3

（2分）
所以异面直线OE与AC的夹角的大小为

π

3

（3分）
（2）如图，作EG⊥OA于点G，连EG、EF、FG，
EG=1×sin

π

4

=

2

2

=FG，∠EGF=

π

2

∴EF=

EG2+FG2

=1=OE=OF（5分）
∴∠EOF=

π

3

，
∴E、F，在该球面上的球面距离为

π

3

×1=

π

3

（7分）

点评：本小题主要考查异面直线及其所成的角、球面距离及相关计算等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力．属于基础题．