Question

11．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）+f（2-x）=4，设f（x）的导函数为f′（x），?x∈R总有f′（x）＜f（x）成立，则不等式f（x）＞2e^x+3的解集为{x丨x＜-3}．

Answer 1

分析 由题意可知：根据函数的奇偶性求得f（x）=f（x+4），则函数f（x）为周期为4的函数，f（3）=f（-1），即可求得f（-3）=f（3）=2，构造辅助函数，求导，由题意可知：g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$单调递减，则不等式转化成$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＞2e³=$\frac{f（-3）}{{e}^{-3}}$，根据函数的单调性即可求得不等式的解集．

解答 解：f（x）+f（2-x）=4，则f（-1）+f（3）=4，
由函数f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x），
则f（-x）+f（2-x）=4，
∴f（x）+f（2+x）=4，$\left\{\begin{array}{l}{f（x）+f（x+2）=4}\\{f（x+2）+f（x+4）=4}\end{array}\right.$，
∴f（x）=f（x+4），
∴函数f（x）为周期为4的函数，f（3）=f（-1），
∴f（-3）=f（3）=2，
设g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
由?x∈R总有f′（x）＜f（x）成立，
∴g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0恒成立，
∴g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$单调递减，
f（x）＞2e^x+3，则$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＞2e³=$\frac{f（-3）}{{e}^{-3}}$，
∴x＜-3，
∴不等式f（x）＞2e^x+3的解集{x丨x＜-3}，
故答案为：{x丨x＜-3}．

点评 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和对称性求出函数的周期性以及构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键，属于难题．