Question

3．已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=2，点P坐标为（2，-1），过点P作圆C的切线，切点为A、B．
（1）求直线PA，PB的方程；    
（2）求切线长|PA|的值；
（3）求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）易知切线斜率存在，设过P点圆的切线方程为y+1=k（x-2），代入点到直线距离公式，可得答案；
（2）求出点到圆心的距离，结构勾股定理，可得切线长|PA|的值；
（3）根据AB与PC垂直，求出直线AB的斜率，根据弦心距，可得直线AB的方程．

解答 解：（1）易知切线斜率存在，设过P点圆的切线方程为y+1=k（x-2），
即kx-y-2k-1=0．
∵圆心（1，2）到直线的距离为$\sqrt{2}$，
∴$\frac{|-k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，
解得k=7，或k=-1，
故所求的切线方程为7x-y-15=0，或x+y-1=0

（2）在Rt△PCA中，
∵|PC|=$\sqrt{（2-1）^{2}+（-1-2）^{2}}$=$\sqrt{10}$，|CA|=$\sqrt{2}$，
∴|PA|²=|PC|²-|CA|²=8．
∴过点P的圆的切线长为2.$\sqrt{2}$
（3）容易求出k_PC=-3，所以k_AB=$\frac{1}{3}$，
如图，由CA²=CD•PC，可求出CD=$\frac{{CA}^{2}}{PC}$=$\frac{2}{\sqrt{10}}$，
设直线AB的方程为y=$\frac{1}{3}$x+b，即x-3y+3b=0
由$\frac{2}{\sqrt{10}}$=$\frac{|1-6+3b|}{\sqrt{1+{3}^{2}}}$，
解得b=1或b=$\frac{1}{3}$（舍）
所以直线AB的方程为x-3y+3=0．

点评 本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，两点间距离公式，难度中档．