Question

15．过点（3，-2）且与曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）有相同焦点的椭圆方程是$\frac{{x}^{2}}{15}$+$\frac{{y}^{2}}{10}$=1．

Answer 1

分析 根据题意，将曲线的参数方程变形为普通方程，分析可得该曲线为椭圆，其焦点坐标为（±$\sqrt{5}$，0），设要求的椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，由椭圆的几何性质可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-{b}^{2}=5}\\{\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{4}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解可得a²、b²的值，将a²、b²的值代入椭圆的方程即可得答案．

解答 解：根据题意，曲线的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，则其普通方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
则该曲线为椭圆，其焦点坐标为（±$\sqrt{5}$，0），
设要求的椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
则有$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-{b}^{2}=5}\\{\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{4}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
解可得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=15}\\{{b}^{2}=10}\end{array}\right.$，
故要求的椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{15}$+$\frac{{y}^{2}}{10}$=1；
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{15}$+$\frac{{y}^{2}}{10}$=1．

点评 本题考查椭圆的参数方程以及标准方程，关键是将曲线的参数方程变形为普通方程．