Question

9．若存在x∈（0，+∞），使不等式e^x（ax+3a-1）＜1成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A． {a|0＜a＜$\frac{1}{3}$}
• B． {a|a＜$\frac{2}{e+1}$}
• C． {a|a＜$\frac{2}{3}$}
• D． {a|a＜$\frac{1}{3}$}

Answer 1

分析 通过讨论a的范围：a≤0或a＞0，结合一次函数和指数函数的单调性，从而求出a的范围即可．

解答 解：e^x（ax+3a-1）＜1，即为
ax+3a-1＜$\frac{1}{{e}^{x}}$，
若a≤0，当x∈（0，+∞）时，ax+3a-1＜0，而$\frac{1}{{e}^{x}}$＞0，
此时结论成立；
若a＞0，由于f（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$在（0，+∞）递减，则0＜f（x）＜1，
又f（x）与y轴的交点为（0，1），
且g（x）=ax+3a=1与y轴的交点为（0，3a-1），
如果存在x∈（0，+∞），使不等式ax+3a-1＜e^-x成立，
则$\left\{\begin{array}{l}{3a-1＜1}\\{a＞0}\end{array}\right.$，解得：0＜a＜$\frac{2}{3}$，
综上：a＜$\frac{2}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查一次函数以及指数函数的性质，考查分类讨论和转化思想，是一道中档题．