Question

6．一台机器在一天内发生故障的概率为0.1，若这台机器一周5个工作日不发生故障，可获利5万元；发生1次故障仍可获利2.5万元；发生2次故障的利润为0元；发生3次或3次以上故障要亏损1万元，这台机器一周内可能获利的均值是多少？

Answer 1

分析 先由概率公式求出一周内机器发生故障的次数ξ的概率，由题意知ξ=0，1，2，3次及以上分别对应的利润是5，2.5，0，-1万元，由求期望的公式求出即可．

解答 解：以ξ表示一周内机器发生故障的次数，则ξ～B（5，0.1），
∴P（ξ=k）=C₅^k×0.1^k×0.9^5-k（k=0、1、…、5），
以η表示一周内获得的利润，则η=g（ξ），
而g（0）=5，g（1）=2.5，g（2）=0，g（ξ≥3）=-1
∴P（η=5）=P（ξ=0）=0.9⁵=0.59045，
P（η=2.5）=P（ξ=1）=C₅¹×0.1¹×0.9⁴=0.32085，
P（η=0）=P（ξ=2）=C₅²×0.1²×0.9³=0.0729，
P（η=-1）=P（ξ≥3）=C₅³×0.1³×0.9²+C₅⁴×0.1⁴×0.9+C₅⁵×0.1⁵=0.00856，
∴Eη=5×0.59049+2.5×0.32805-0.0856=3.764015．
这台机器一周内可获利的均值是 37640.15元．

点评 本题考查离散型随机变量的期望与方差，求解的关键是计算出每一种利润所对应的概率，熟练掌握求期望的公式也很关键．