Question

19．设函数f（x）=e^x（sinx-cosx）（0≤x≤2016π），则函数f（x）的各极大值之和为（　　）

• A． $\frac{{{e^π}（1-{e^{2017π}}）}}{{1-{e^{2π}}}}$
• B． $\frac{{{e^π}（1-{e^{1009π}}）}}{{1-{e^π}}}$
• C． $\frac{{{e^π}（1-{e^{1008π}}）}}{{1-{e^{2π}}}}$
• D． $\frac{{{e^π}（1-{e^{2016π}}）}}{{1-{e^{2π}}}}$

Answer 1

分析 先求f′（x）=2e^xsinx，这样即可得到f（π），f（3π），f（5π），…，f（2015π）为f（x）的极大值，并且构成以e^π为首项，e^2π为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式求f（x）的各极大值之和即可．

解答 解：：∵函数f（x）=e^x（sinx-cosx），
∴f′（x）=[e^x（sinx-cosx）]′=e^x（sinx-cosx）+e^x（cosx+sinx）=2e^xsinx；
令f′（x）=0，解得x=kπ（k∈Z）；
∴当2kπ＜x＜2kπ+π时，f′（x）＞0，原函数单调递增，
当2kπ+π＜x＜2kπ+2π时，f′（x）＜0，原函数单调递减；
∴当x=2kπ+π时，函数f（x）取得极大值，
此时f（2kπ+π）=e^2kπ+π[sin（2kπ+π）-cos（2kπ+π）]=e^2kπ+π；
又∵0≤x≤2016π，∴0和2016π都不是极值点，
∴函数f（x）的各极大值之和为：
e^π+e^3π+e^5π+…+e^2015π=$\frac{{e}^{π}（1{-e}^{2016π}）}{1{-e}^{2π}}$，
故选：D．

点评 本题考查极大值的定义，正弦、余弦，和积的导数的求导公式，以及等比数列的概念，等比数列的求和公式，属于中档题．