题目内容

在△ABC中．
（1）求证： $数学公式$ ；
（2）求证： $数学公式$ 问什么情况下取等号．

解：（I）左边=tan $\text{[math]}$ （tan $\text{[math]}$ +tan $\text{[math]}$ ）+tan $\text{[math]}$ tan $\text{[math]}$
=tan $\text{[math]}$ tan（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）（1-tan $\text{[math]}$ tan $\text{[math]}$ ）+tan $\text{[math]}$ tan $\text{[math]}$
∵在△ABC中， $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =90⁰
∴tan $\text{[math]}$ tan（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）=1
∴左边=1-tan $\text{[math]}$ tan $\text{[math]}$ +tan $\text{[math]}$ tan $\text{[math]}$ =1
∴左边=右边，等式得证
$\text{[math]}$ ；
（II）∵tan² $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ -1
∴tan² $\text{[math]}$ +tan² $\text{[math]}$ +tan² $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ -3≥3（ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ -3
等号当且仅当 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时即A=B=C=60°时成立
此时tan² $\text{[math]}$ +tan² $\text{[math]}$ +tan² $\text{[math]}$ ≥3[ $\text{[math]}$ ] $\text{[math]}$ -3=4-3=1
故 $\text{[math]}$ 等号当A=B=C=60°时成立
分析：（1）提取公因式由两角和的正切公式变式进行证明，两角和的正切公式有二个变式，应合理选择．
（2）先切化弦再利用基本不等式求最值．
点评：考查两角和的正切公式的变形及基本不等式