Question

10．设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=-f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=2x+x²．
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）当x∈[2，4]，求f（x）的解析式；
（3）计算：f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2008）．

Answer 1

分析 （1）根据函数的周期性证明
（2）利用周期性概念，奇偶性定义转化，
（3）根据周期性整体求解得出即可

解答 （1）证明：∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），
∴f（x）为周期函数且4是它的一个周期．
（2）∵f（x）R上的奇函数，∴f（0）=0，f（2）=f（0+2）=f（0）=0，
满足f（x）=x²-2x，∴x∈[0，2]时，f（x）=x²-2x，
当x∈[-2，0]时，-x∈[0，2]，∴f（-x）=x²+2x，
∴x∈[-2，0]时，∴f（x）=-[-f（x）]=x²-2x，
又当x∈[2，4]时，x-4∈[-2，0]，
∴f（x）=f（x-4）=-（x-4）²-2（x-4）=-x²+6x-8．
（3）由函数的周期性可得，原式的值=4×502=2008．

点评 本题综合考察了函数的周期性，奇偶性，单调性的综合运用，属于综合题目．