Question

19．已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为a的菱形，∠BAD=120°，PA=b．
（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）设AC与BD交于点O，M为OC的中点，若点M到平面POD的距离为$\frac{1}{4}b$，求a：b的值．

Answer 1

分析 （I）结合PA⊥BD，AC⊥BD，由面面垂直的判定定理易证；
（II）利用等体积法，结合题目所给条件即可得出所求的值．

解答 证明：（I）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵在菱形ABCD中，有AC⊥BD，
∴BD⊥平面PAC，
又∵BD?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC
解：（II）∵V_M-POD=V_P-OMD，
在Rt△OMD中，有${S}_{△OMD}=\frac{1}{2}×\frac{1}{4}a×\frac{\sqrt{3}}{2}a={a}^{2}$．
在Rt△POD中，OD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，PO=$\sqrt{{b}^{2}+\frac{1}{4}{a}^{2}}$，
∴S_△OMD=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a×$\sqrt{{b}^{2}+\frac{1}{4}{a}^{2}}$，
∴$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{{a}^{2}（3{b}^{2}+\frac{3}{4}{a}^{2}）}}{4}$×$\frac{1}{4}$b=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{16}$a²×b，
∴3a²=4b²，
∴a：b=2：$\sqrt{3}$．
∴a：b的值为2：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查等体积法的运用，属于中档题．