Question

17．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间[0，$\frac{a}{3}$]和[2a，$\frac{7π}{6}$]上均单调递增，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]
• B． [$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]
• C． [$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]
• D． [$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{8}$]

Answer 1

分析 由函数的图象平移求得函数g（x）的解析式，进一步求出函数（x）的单调增区间，结合函数g（x）在区间[0，$\frac{a}{3}$]和[2a，$\frac{7π}{6}$]上均单调递增列关于a的不等式组求解．

解答 解：将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位后得到函数g（x）的图象，
得g（x）=2cos2（x-$\frac{π}{6}$）=2cos（2x-$\frac{π}{3}$），
由$-π+2kπ≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ$，得$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$．
当k=0时，函数的增区间为[$-\frac{π}{3}，\frac{π}{6}$]，当k=1时，函数的增区间为[$\frac{2π}{3}，\frac{7π}{6}$]．
要使函数g（x）在区间[0，$\frac{a}{3}$]和[2a，$\frac{7π}{6}$]上均单调递增，
则$\left\{\begin{array}{l}{0＜\frac{a}{3}≤\frac{π}{6}}\\{\frac{2π}{3}≤2a＜\frac{7π}{6}}\end{array}\right.$，解得a∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]．
故选：A．

点评 本题考查三角函数的图象变换，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的性质，是中档题．