Question

18．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，一只蚂蚁沿侧面CC₁D₁D从C点出发，经过棱DD₁上的一点M到达A₁，当蚂蚁所走的路程最短时，
（Ⅰ）求B₁M的长；
（Ⅱ）求证：B₁M⊥平面MAC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将长方体展开，根据两点之间线段最短可得M为D₁D中点，蚂蚁所走的路径最短，利用勾股定理即可计算B₁M的值．
（Ⅱ）由题意，计算可得B₁M²+CM²=B₁C²=5；B₁M²+AM²=B₁A²=5，利用勾股定理即可证明B₁M⊥MC，B₁M⊥AM，从而判定B₁M⊥平面MAC．

解答 解：（Ⅰ）∵在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，
将侧面C₁D沿D₁D展开到平面A₁D，连结A₁C交D₁D于M，此时M为D₁D中点，蚂蚁所走的路径最短．
∴B₁M=$\sqrt{{B}_{1}{{D}_{1}}^{2}+{D}_{1}{M}^{2}}$=$\sqrt{3}$…（6分）
（Ⅱ）∵B₁M²+CM²=B₁C²=5；B₁M²+AM²=B₁A²=5，
∴B₁M⊥MC，B₁M⊥AM，
∴B₁M⊥平面MAC…（12分）

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，考查了长方体的表面的最短路径问题．注意将长方体展开，根据两点之间线段最短求解是解此题的关键，属于中档题．