Question

14．设f（x）=x ln x-ax²+（2a-1）x，a∈R．
（Ⅰ）令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，求 g（x）的单调区间；
（Ⅱ）当$\frac{1}{2}$＜a≤1时，证明：f（x）≤0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出g（x）=lnx-ax+2a-1，的导数g′（x），分a≤0，a＞求单调区间．
（Ⅱ）只要证明?x∈（0，+∞），f（x）≤0即可，由（Ⅰ）知g（x）_max=g（$\frac{1}{a}$）=2a-2-lna．
证明h（a）=2a-2-lna．a在（$\frac{1}{2}，1]$，h（a）≤0即可

解答 解：（Ⅰ）由g（x）=lnx-ax+2a-1，可得g′（x）=$\frac{1}{x}-a=\frac{1-ax}{x}$，
当a≤0时，x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）的单调增区间为（0，+∞）；
当a＞0时，x∈（0，$\frac{1}{a}$）时，g′（x）＞0，g（x）的单调增区间为（0，$\frac{1}{a}$），
x∈（$\frac{1}{a}$，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）的单调减区间为（$\frac{1}{a}$，+∞）；
（Ⅱ）证明：只要证明?x∈（0，+∞），f（x）≤0即可．
由（Ⅰ）知g（x）在x=$\frac{1}{a}$取得最大值，g（x）_max=g（$\frac{1}{a}$）=2a-2-lna．
h（a）=2a-2-lna．a$∈（\frac{1}{2}，1]$，h′（a）=$\frac{2a-1}{a}$＞0，
则h（a）在（$\frac{1}{2}，1]$上单调递增，h（a）≤h（1）=0
∴当$\frac{1}{2}$＜a≤1时，g（x）≤0，即f（x）≤0．

点评 本题考查了导数的综合应用，函数恒等式的证明，属于中档题．