题目内容
已知2Sn=an+
，则S2014= ．
| 1 |
| an |
考点：数列递推式
专题：点列、递归数列与数学归纳法
分析：根据题目给出的递推式，构造方程组，两式作差后两边平方运算，得到数列{bn}为等差数列，写出等差数列的通项公式，把bn代入后可求an，然后即可求出S2014．
解答：
解：∵2Sn=an+
，①
∴2Sn+1=an+1+
②
②-①得：2Sn+1-2Sn=an+1+
-（an+
），
即2an+1=an+1+
-（an+
），
∴an+
=
-an+1，
两边平方得an2+
+2=（
）2+an+12-2，
即[an+12+（
）2]-（an2+
）=4
设bn=an2+
，
则bn+1-bn=4，
而b1=a12+
=1+1=2，
∴数列{bn}是首项为2，公差为4的等差数列，bn=2+4（n-1）=4n-2．
则an2+
=4n-2，
即an2+2+
=4n，
则（an+
）2=4n，
又an＞0＞0，
故an+
=2
，
从而an2+2
an+1=0，解得an=
±
，
而a1=1，由2（a1+a2）=a2+
，
即a22+2a2-1=0，解得a2=-1±
，
取a2=
-1＞0，则只有an=
-
符合．
∵2Sn=an+
，
∴Sn=
（an+
），
则S2014=
（
-
+
）=
（
-
+
）=
（
-
+
+
）=
，
故答案为：
．
| 1 |
| an |
∴2Sn+1=an+1+
| 1 |
| an+1 |
②-①得：2Sn+1-2Sn=an+1+
| 1 |
| an+1 |
| 1 |
| an |
即2an+1=an+1+
| 1 |
| an+1 |
| 1 |
| an |
∴an+
| 1 |
| an |
| 1 |
| an+1 |
两边平方得an2+
| 1 |
| an2 |
| 1 |
| an+1 |
即[an+12+（
| 1 |
| an+1 |
| 1 |
| an2 |
设bn=an2+
| 1 |
| an2 |
则bn+1-bn=4，
而b1=a12+
| 1 |
| a12 |
∴数列{bn}是首项为2，公差为4的等差数列，bn=2+4（n-1）=4n-2．
则an2+
| 1 |
| an2 |
即an2+2+
| 1 |
| an2 |
则（an+
| 1 |
| an |
又an＞0＞0，
故an+
| 1 |
| an |
| n |
从而an2+2
| n |
| n |
| n-1 |
而a1=1，由2（a1+a2）=a2+
| 1 |
| a2 |
即a22+2a2-1=0，解得a2=-1±
| 2 |
取a2=
| 2 |
| n |
| n-1 |
∵2Sn=an+
| 1 |
| an |
∴Sn=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| an |
则S2014=
| 1 |
| 2 |
| 2014 |
| 2013 |
| 1 | ||||
|
| 1 |
| 2 |
| 2014 |
| 2013 |
| ||||
(
|
| 1 |
| 2 |
| 2014 |
| 2013 |
| 2014 |
| 2013 |
| 2014 |
故答案为：
| 2014 |
点评：本题考查了数列的概念及简单表示法，考查了利用递推式求数列的通项公式，利用构造法，结合等差数列的通项公式是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
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+
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