Question

20．在一次文、理科学习倾向的调研中，对高一年段1000名学生进行文综、理综各一次测试（满分均为300分）．测试后，随机抽取若干名学生成绩，记理综成绩X，文综成绩为Y，|X-Y|为Z，将Z值分组统计制成下表，并将其中女生的Z值分布情况制成频率分布直方图
值分布情况制成频率分布直方图（如图所示）．

分组	[0，20）	[20，40）	[40，60}	[60，80）	[80，100）	[100，120）	[120，140）
频数	4	18	42	66	48	20	2

（Ⅰ）若已知直方图中[60，80）频数为25，试分别估计全体学生中，Z∈[0，20）的男、女生人数；
（Ⅱ）记Z的平均数为$\overline{Z}$，如果$\overline{Z}$＞60称为整体具有学科学习倾向，试估计高一年段女生的$\overline{Z}$值（同一组中的数据用该组区间中点值作代表），并判断高一年段女生是否整体具有显著学科学习倾向．

Answer 1

分析 （Ⅰ）：根据频率分布表和分布直方图即可求出．
（Ⅱ）：根据组中值乘以频率即可得到样本的平均值，再根据样本估计总体，即可求出答案．

解答 解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，女生Z∈[60，80）的频率为$\frac{25}{1600}•20=\frac{5}{16}$．  …（1分）
所以样本中女生总人数为$25÷\frac{5}{16}=80$．…（2分）
由频率分布直方图可知，女生Z∈[0，20）的频率为$1-（\frac{1}{1600}+\frac{6}{1600}+\frac{10}{1600}+\frac{15}{1600}+\frac{20}{1600}+\frac{25}{1600}）×20=\frac{3}{80}$，…（4分）
所以女生Z∈[0，20）的频数为$80•\frac{3}{80}=3$．
结合统计表可知，男生Z∈[0，20）的频数为4-3=1．…（6分）
又因为样本容量为200，故样本中，男、女生Z∈[0，20）的频率分别为$\frac{1}{200}$与$\frac{3}{200}$，…（7分）
据频率估计概率、样本估计总体的统计思想，可知年段1000名学生中，Z∈[0，20）的男生约有5名，女生约有15名．…（8分）
（Ⅱ）依题意，样本中女生的$\overline Z$值约为$10×\frac{3}{80}+30×\frac{10}{80}+50×\frac{20}{200}$$+70×\frac{25}{80}+90×\frac{15}{80}+110×\frac{6}{80}+130×\frac{1}{80}$=65.25．（10分）
根据样本估计总体的统计思想，全体女生$\overline Z≈65.25$．…（11分）
因为65.25＞60，所以年段女生整体具有显著学科学习倾向．…（12分）

点评 本题考查了频率分布直方图和平均数的问题和样本估计总体，关键是识别图形，属于基础题．