Question

14．设函数f（x）=ax²+bx+b-1（a≠0）．
（1）当a=1，b=-2时，求函数f（x）的零点；
（2）若对任意b∈R，函数f（x）恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用二次方程，真假求解即可．
（2）利用二次函数的零点，通过判别式，得到不等式，然后推出b的二次不等式，转化求解即可．

解答 解　（1）当a=1，b=-2时，f（x）=x²-2x-3，
令f（x）=0，得x=3或x=-1．
∴函数f（x）的零点为3和-1．
（2）依题意，f（x）=ax²+bx+b-1=0有两个不同实根．
∴b²-4a（b-1）＞0恒成立，
即对于任意b∈R，b²-4ab+4a＞0恒成立，
所以有（-4a）²-4（4a）＜0⇒a²-a＜0，所以0＜a＜1．
因此实数a的取值范围是（0，1）．

点评 本题考查函数的恒成立，二次函数的性质的应用，考查计算能力．