Question

4．若sinx-cosx=$\frac{1}{3}$，且x∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$），则sinx+cosx=$-\frac{\sqrt{17}}{3}$．

Answer 1

分析 把已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，整理求出2sinxcosx的值，原式平方利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，开方即可求出sinx+cosx的值．

解答 解：把sinx-cosx=$\frac{1}{3}$，两边平方得：1-2sinxcosx=$\frac{1}{9}$，即2sinxcosx=$\frac{8}{9}$＞0，说明sinx与cosx同号
∴（sinx+cosx）²=1+2sinxcosx=$\frac{17}{9}$，sinxcosx=$\frac{4}{9}$，
∵x∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$），∴sinx＜0，cosx＜0，即sinx+cosx＜0，
则sinx+cosx=$-\frac{\sqrt{17}}{3}$，
故答案为：$-\frac{\sqrt{17}}{3}$．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．