Question

6．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$≤φ＜$\frac{π}{2}$），f（0）=-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且函数f（x）图象上的任意两条对称轴之间距离的最小值是$\frac{π}{2}$．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）若f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{2π}{3}$），求cos（α+$\frac{3π}{2}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由特殊点的坐标求出φ的值，由周期求出ω，可得函数的解析式．
（Ⅱ）由f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，求得α-$\frac{π}{6}$的正弦值，从而求得α-$\frac{π}{6}$的余弦值，再利用诱导公式，两角和差的正弦公式，求得cos（α+$\frac{3π}{2}$）的值．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（0）=\sqrt{3}sinφ=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，-\frac{π}{2}≤φ＜\frac{π}{2}$，∴$φ=-\frac{π}{6}$．
又函数f（x）图象上的任意两条对称轴之间距离的最小值是$\frac{π}{2}$，∴f（x）的最小正周期T=π，
从而$ω=\frac{2π}{T}=2$，∴$f（x）=\sqrt{3}sin（{2x-\frac{π}{6}}）$．
（Ⅱ）由（I）得$f（{\frac{α}{2}}）=\sqrt{3}sin（{2•\frac{α}{2}-\frac{π}{6}}）=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，∴$sin（{α-\frac{π}{6}}）=\frac{1}{4}$．
由$\frac{π}{6}＜α＜\frac{2π}{3}$得$0＜α-\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}$，∴$cos（{α-\frac{π}{6}}）=\sqrt{1-{{sin}^2}（{α-\frac{π}{6}}）}=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$．
∴$cos（{α+\frac{3π}{2}}）=sinα=sin[{（{α-\frac{π}{6}}）+\frac{π}{6}}]=sin（{α-\frac{π}{6}}）cos\frac{π}{6}+cos（{α-\frac{π}{6}}）sin\frac{π}{6}=\frac{{\sqrt{3}+\sqrt{15}}}{8}$，
即 $cos（{α+\frac{3π}{2}}）=\frac{{\sqrt{3}+\sqrt{15}}}{8}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由特殊点的坐标求出φ的值，由周期求出ω．还考查了同角三角函数的基本关系，诱导公式，两角和差的正弦公式，属于中档题．