Question

2．在空间直角坐标系下，试判定直线l：$\left\{\begin{array}{l}{2x+y+z-1=0}\\{x+2y-z-2=0}\end{array}\right.$与平面π：3x-y+2z+1=0的位置关系，并求出直线l与平面π的夹角的正弦值．

Answer 1

分析 先分别求出平面π：3x-y+2z+1=0、平面2x+y+z-1=0、平面x+2y+z-1=0的法向量，再求出直线l的方向向量，由此能判断直线l与平面π的位置关系，并能求出直线l与平面π的夹角的正弦值．

解答 解：∵平面π：3x-y+2z+1=0的法向量$\overrightarrow{n}$=（3，-1，2），
平面2x+y+z-1=0的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（2，1，1），
平面x+2y+z-1=0的法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，2，-1），
则直线l的方向向量为$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}$=$|\begin{array}{l}{\overrightarrow{i}}&{\overrightarrow{j}}&{\overrightarrow{k}}\\{2}&{1}&{1}\\{1}&{2}&{-1}\end{array}|$=-3$\overrightarrow{i}$+3$\overrightarrow{j}$+3$\overrightarrow{k}$=（-3，3，3），
$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=-9-3+6=-6，
∴直线l：$\left\{\begin{array}{l}{2x+y+z-1=0}\\{x+2y-z-2=0}\end{array}\right.$与平面π：3x-y+2z+1=0相交；
设直线l与平面π的夹角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-6|}{\sqrt{27}•\sqrt{14}}$=$\frac{\sqrt{42}}{21}$．
∴直线l与平面π的夹角的正弦值为$\frac{\sqrt{42}}{21}$．

点评 本题考查线面位置关系的判断，考查直线与平面的夹角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．