Question

16．已知直线l：3x+4y-12=0与x轴、y轴分别相交于A、B．
（1）求过点P（1，2）且在x轴、y轴上截距均相等的直线的方程；
（2）求与直线l、x轴、y轴都相切的圆的方程．

Answer 1

分析 （1）设直线在x轴为a，y轴截距为b．
①当a=b=0时，直线过点（1，2）和（0，0），其方程为$\frac{y}{x}$=2，即3x-2y=0．
②当a=b≠0时，直线方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{a}$=1，把点（1，2）代入，由此能求出直线方程．
（2）确定圆心与半径，即可求与直线l、x轴、y轴都相切的圆的方程．

解答 解：（1）设直线在x轴为a，y轴截距为b．
①当a=b=0时，直线过点（1，2）和（0，0），其方程为$\frac{y}{x}$=2，即3x-2y=0．
②当a=b≠0时，直线方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{a}$=1，把点（1，2）代入，得
$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{a}$=1，
解得a=3，
则该直线方程为x+y=3．
（2）解：由题意A（4，0），B（0，3），设圆的半径为r，
则由等面积可得$\frac{1}{2}$×（3+4+5）r=$\frac{1}{2}$×3×4，∴r=1，
∴圆的方程（x-1）²+（y-1）²=1．

点评 本题考查直线的截距式方程，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，易错点是容易忽视a=b=0的情况，造成丢解．