Question

18．已知函数f（x）=2alnx+x²-2x（a∈R）在定义域上为单调递增函数，则a的最小值是（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 求出函数的导数，问题转化为a≥x-x²在（0，+∞）恒成立，令g（x）=x-x²，（x＞0），根据函数的单调性，求出g（x）的最大值，从而求出a的范围即可．

解答 解：f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{2a}{x}$+2x-2=$\frac{{2（x}^{2}-x+a）}{x}$，
若f（x）在（0，+∞）递增，
则x²-x+a≥0在（0，+∞）恒成立，
即a≥x-x²在（0，+∞）恒成立，
令g（x）=x-x²，（x＞0），
g′（x）=1-2x，
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$，
令g′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{2}$，
∴g（x）在（0，$\frac{1}{2}$）递增，在（$\frac{1}{2}$，+∞）递减，
∴g（x）_max=g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，
∴a≥$\frac{1}{4}$，
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．