Question

6．若数列{a_n}满足a₁=2且a_n+a_n-1=2ⁿ+2^n-1，S_n为数列{a_n}的前n项和，则1og₂（S₂₀₁₆+2）=2017．

Answer 1

分析 a_n+a_n-1=2ⁿ+2^n-1，变形为${a}_{n}-{2}^{n}$=-$（{a}_{n-1}-{2}^{n-1}）$，由a₁=2，可得a_n=2ⁿ．再利用等比数列的前n项和公式与对数的运算性质即可得出．

解答 解：∵a_n+a_n-1=2ⁿ+2^n-1，
∴${a}_{n}-{2}^{n}$=-$（{a}_{n-1}-{2}^{n-1}）$，
∵a₁=2，∴a_n=2ⁿ．
∴S₂₀₁₆+2=2²⁰¹⁶+2²⁰¹⁵+…+2+2=$\frac{{2}^{2017}-1}{2-1}$+1=2²⁰¹⁷，
∴1og₂（S₂₀₁₆+2）=2017．
故答案为：2017．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的前n项和公式与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．