题目内容
已知F，F'分别是椭圆C1：17x2+16y2=17的上、下焦点，直线l1过点F'且垂直于椭圆长轴，动直线l2垂直l1于点G，线段GF的垂直平分线交l2于点H，点H的轨迹为C2．（Ⅰ）求轨迹C2的方程；
（Ⅱ）若动点P在直线l：x-y-2=0上运动，且过点P作轨迹C2的两务切线PA、PB，切点为A、B，试猜想∠PFA与∠PFB的大小关系，并证明你的结论的正确性．
【答案】分析：（Ⅰ）由椭圆C1：17x2+16y2=17，可得F，F'的坐标，从而可得动点H到定直线l1：y=-
与定点F（0，
）的距离相等，由此可得轨迹C2的方程；
（Ⅱ）猜想∠PFA与∠PFB，先求切线AP、BP的方程，联立可得P的坐标，进一步可得
、
、
的坐标，利用向量的夹角公式，可得cos∠AFP=cos∠BFP，从而可得结论．
解答：解：（Ⅰ）∵椭圆C1：17x2+16y2=17，∴椭圆半焦距长为
∴F′（0，-
），F（0，
）
∵HG=HF，∴动点H到定直线l1：y=-
与定点F（0，
）的距离相等
∴动点H的轨迹为以定直线l1：y=-
为准线，定点F（0，
）为焦点的抛物线
∴轨迹C2的方程为x2=y；
（Ⅱ）猜想∠PFA与∠PFB，证明如下：
由（Ⅰ）设A（
），B（
）（x≠x1）
∴切线AP：
，切线BP：
联立可得P的坐标
，yP=xx1
∵
=（
），
=（
），
=（
，
）
由于P在抛物线外，则
∴cos∠AFP=
=
同理可得cos∠BFP=
=
∴cos∠AFP=cos∠BFP
∴∠AFP=∠BFP．
点评：本题考查轨迹方程，考查抛物线的定义，考查向量知识的运用，正确运用向量的夹角公式是关键．
与定点F（0，）的距离相等，由此可得轨迹C2的方程；（Ⅱ）猜想∠PFA与∠PFB，先求切线AP、BP的方程，联立可得P的坐标，进一步可得
、、的坐标，利用向量的夹角公式，可得cos∠AFP=cos∠BFP，从而可得结论．解答：解：（Ⅰ）∵椭圆C1：17x2+16y2=17，∴椭圆半焦距长为
∴F′（0，-
），F（0，）∵HG=HF，∴动点H到定直线l1：y=-
与定点F（0，）的距离相等∴动点H的轨迹为以定直线l1：y=-
为准线，定点F（0，）为焦点的抛物线∴轨迹C2的方程为x2=y；
（Ⅱ）猜想∠PFA与∠PFB，证明如下：
由（Ⅰ）设A（
），B（）（x≠x1）∴切线AP：
，切线BP：联立可得P的坐标
，yP=xx1∵
=（），=（），=（，）由于P在抛物线外，则
∴cos∠AFP=
=同理可得cos∠BFP=
=∴cos∠AFP=cos∠BFP
∴∠AFP=∠BFP．
点评：本题考查轨迹方程，考查抛物线的定义，考查向量知识的运用，正确运用向量的夹角公式是关键．
练习册系列答案
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