Question

14．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为偶函数，且函数图象的相邻两条对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$
（1）求f（$\frac{π}{8}$）
（2）求函数f（x）的单调减区间．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）为偶函数求得φ的值，再根据图象的相邻两条对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$，求得ω的值，可得函数的解析式，从而求得f（$\frac{π}{8}$）．
（2）利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调减区间．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为偶函数，∴φ=$\frac{π}{2}$，
∵函数图象的相邻两条对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$，∴$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=2，f（x）=2cos2x，
∴f（$\frac{π}{8}$）=2cos$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$．
（2）令2kπ≤2x≤2kπ+π，求得kπ≤x≤kπ+$\frac{π}{2}$，可得函数的减区间为[kπ，kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查诱导公式、三角函数的奇偶性、单调性，以及图象的对称性，属于基础题．