Question

13．如图所示，在△ABC中，B=$\frac{π}{4}$，AC=2$\sqrt{5}$，cosC=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
（1）求sin∠BAC的值及BC的长度；
（2）设BC的中点为D，求中线AD的长．

Answer 1

分析 （1）由cosC的值求出sinC的值，根据诱导公式得到sin∠BAC=sin（B+C），利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算求出值，再由sin∠BAC，sinB，以及AC的长，利用正弦定理求出BC的长即可；
（2）根据D为BC中点，求出CD的长，再由AC与cosC的值，利用余弦定理求出AD的长即可．

解答 解：（1）∵在△ABC中，B=$\frac{π}{4}$，AC=2$\sqrt{5}$，cosC=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sin∠BAC=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$；
由正弦定理得：$\frac{BC}{sin∠BAC}$=$\frac{AC}{sinB}$，即BC=$\frac{ACsin∠BAC}{sinB}$=$\frac{2\sqrt{5}×\frac{3\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=6，
（2）在△ADC中，CD=$\frac{1}{2}$BC=3，AC=2$\sqrt{5}$，cosC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
由余弦定理得：AD²=AC²+DC²-2AC•DCcosC=20+9-2×2$\sqrt{5}$×3×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=5，
则AD=$\sqrt{5}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．