Question

10．已知向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}$，满足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=3，若（$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$）=0，则|$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$|的最小值是（　　）

• A． 2-$\sqrt{3}$
• B． 2+$\sqrt{3}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由题意设$\overrightarrow{a}=（1，\sqrt{3}），\overrightarrow{b}=（3，0）$，再设$\overrightarrow{c}=（x，y）$，这样根据$（\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{a}）•（\overrightarrow{c}-\frac{2}{3}\overrightarrow{b}）=0$即可得出$\overrightarrow{c}$终点的轨迹，而数形结合即可求出$|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}|$的最小值．

解答 解：根据条件，设$\overrightarrow{a}=（1，\sqrt{3}），\overrightarrow{b}=（3，0）$，设$\overrightarrow{c}=（x，y）$，则：
$（\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{a}）•（\overrightarrow{c}-\frac{2}{3}\overrightarrow{b}）$=$（x-2，y-2\sqrt{3}）•（x-2，y）$=0；
∴$（x-2）^{2}+（y-\sqrt{3}）=3$；
∴$\overrightarrow{c}$的终点在以$（2，\sqrt{3}）$为圆心，$\sqrt{3}$为半径的圆上，如图所示：
∴|$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$|的最小值为：$\sqrt{（2-3）^{2}+（\sqrt{3}-0）^{2}}-\sqrt{3}=2-\sqrt{3}$．
故选A．

点评 本题考查平面向量的数量积的坐标运算，引入坐标解决向量问题的方法，以及数形结合的解题思想方法．