Question

14．已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数，a≠0，x∈R）
（1）若函数f（x）的图象过点（-2，1），且函数f（x）有且只有一个零点，求f（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈（-1，2）时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f（-2）=1，函数f（x）有且只有一个零点，所以△=0，解方程可得a，b，进而得到f（x）的表达式；
（2）求出g（x）的表达式，配方，求得对称轴，讨论函数单调递减和递增，区间与对称轴的关系，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）因为f（-2）=1，即4a-2b+1=1，所以b=2a
因为函数f（x）有且只有一个零点，所以△=b²-4a=0，
所以4a²-4a=0，所以a=1，b=2．
所以f（x）=（x+1）²；
（2）$g（x）=f（x）-kx={x^2}+2x+1-kx={x^2}-（{k-2}）x+1={（{x-\frac{k-2}{2}}）^2}+1-\frac{{{{（{k-2}）}^2}}}{4}$，
由g（x）的图象知，要满足题意，
则$\frac{k-2}{2}≥2$或$\frac{k-2}{2}≤-1$，即k≥6或k≤0，
∴所求实数k的取值范围为（-∞，0]∪[6，+∞）．

点评 本题考查二次函数解析式的求法，注意运用方程思想，考查函数的单调性，注意运用分类讨论和二次函数的对称轴与区间的关系，考查运算能力，属于中档题．