Question

17．（1）求证：$\sqrt{a}$-$\sqrt{a-1}$＜$\sqrt{a-2}$-$\sqrt{a-3}$（a＞3）．
（2）求由曲线y=$\sqrt{x}$，直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积．

Answer 1

分析 （1）利用不等式的性质进行证明；
（2）利用定积分的几何意义求封闭图形的面积．

解答 （1）证明：∵$\sqrt{a}＞\sqrt{a-2}，\sqrt{a-1}＞\sqrt{a-3}$
∴$\sqrt{a}+\sqrt{a-1}＞\sqrt{a-2}+\sqrt{a-3}$
∴$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{a-1}}＜\frac{1}{\sqrt{a-2}+\sqrt{a-3}}$
∴$\sqrt{a}-\sqrt{a-1}＜\sqrt{a-2}-\sqrt{a-3}$               （6分）
（2）解：联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{x}}\\{y=x-2}\end{array}\right.$得到两曲线的交点（4，2），
因此由曲线y=$\sqrt{x}$，直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为S=${∫}_{0}^{4}（\sqrt{x}-x+2）dx$=$\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}{x}^{2}+{2x}^{\;}{|}_{0}^{4}$=$\frac{16}{3}$                             （12分）

点评 本题考查了不等式性质的运用证明不等式以及利用定积分求封闭图形的面积．（1）也可以利用分析法证明．（2）关键是利用定积分表示围成的图形面积．