Question

19．已知数列{a_n}是等差数列，且满足：a₁+a₂+a₃=6，a₅=5．
（Ⅰ）求a_n
（Ⅱ）记数列c_n=$\frac{2}{{{a_{n+1}}{a_{n+2}}}}$（n∈N^*），若{c_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据等差数列的定义构成方程组，即可求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求出求数列{c_n}的通项公式，利用裂项法即可求前n项和S_n．

解答 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}是等差数列，且a₁+a₂+a₃=6，a₅=5，
∴$\left\{\begin{array}{l}3{a_1}+3d=6\\{a_1}+4d=5\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ d=1\end{array}\right.$，
∴a_n=n，
（Ⅱ）∵${c_n}=\frac{2}{{{a_{n+1}}{a_{n+2}}}}=\frac{2}{（n+1）•（n+2）}=2•（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$，
∴${T_n}=2（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+2（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+2（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）+2（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$2（\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}）=1-\frac{2}{n+2}=\frac{n}{n+2}$

点评 本题主要考查等差数列的通项公式的求解，以及利用裂项法进行求和，考查学生的计算能力．