Question

8．设函数f（x）=a^x-（m-2）a^-x   （a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求m的值；
（2）若f（1）＜0，试判断y=f（x）的单调性，并求使不等式f（x²+tx）+f（4-x）＜0恒成立的t的取值范围；
（3）若f（1）=$\frac{3}{2}$，g（x）=a^2x+a^-2x-2f（x），求g（x）在[1，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f（0）=0，解方程可得m=3；
（2）由f（1）＜0，可得0＜a＜1，判断f（x）递减，不等式f（x²+tx）+f（4-x）＜0转化为x²+（t-1）x+4＞0恒成立，
由判别式小于0，解不等式即可得到t的范围；
（3）f（1）=$\frac{3}{2}$，可得a=2，求出g（x）的解析式，令t=2^x-2^-x，由x≥1可得t≥$\frac{3}{2}$．可得函数y=t²-2t+2=（t-1）²+1，运用二次函数的单调性，可得所求最小值．

解答 解：（1）f（x）是定义域为R的奇函数，
可得f（0）=0，即a⁰-（m-2）a⁰=0，
即3-m=0，可得m=3；
（2）f（1）＜0，即a-a^-1＜0，
解得0＜a＜1．
由a^x递减，a^-x递增，
可得f（x）=a^x-a^-x在R上递减，
不等式f（x²+tx）+f（4-x）＜0，
即为不等式f（x²+tx）＜-f（4-x）=f（x-4），
即有x²+tx＞x-4，即x²+（t-1）x+4＞0恒成立，
则△=（t-1）²-16＜0，
解得-3＜t＜5．
即t的取值范围是（-3，5）；
（3）若f（1）=$\frac{3}{2}$，即a-a^-1=$\frac{3}{2}$，
解得a=2．
则g（x）=2^2x+2^-2x-2（2^x-2^-x），
令t=2^x-2^-x，由x≥1可得t≥$\frac{3}{2}$．
则函数y=t²-2t+2=（t-1）²+1，
且在[$\frac{3}{2}$，+∞）递增，
可得g（x）在[1，+∞）上的最小值为（$\frac{3}{2}$-1）²+1=$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查恒成立问题的解法，以及换元法的运用和化简运算能力，属于中档题．