Question

19．已知等比数列{a_n}的公比q＞1，a₁=1，且a₁，a₃，a₂+14成等差数列，数列{b_n}满足：a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）•3ⁿ+1，n∈N．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）求数列$\{\frac{b_n}{a_n}\}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）l利用等差数列与等比数列的通项公式可得a_n，再利用递推关系可得b_n．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₁，a₃，a₂+14成等差数列，∴2a₃=a₁+a₂+14，a₁=1，
∴2q²=1+q+14，q＞1，解得q=3，
∴a_n=3^n-1．
∵数列{b_n}满足：a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）•3ⁿ+1，n∈N．
∴n=1时，a₁b₁=1，∴b₁=1．
n≥2时，a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=（n-2）•3^n-1+1，
∴a_nb_n=（2n-1）•3^n-1．
∴b_n=2n-1．
（2）$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{2n-1}{{3}^{n-1}}$．
∴数列$\{\frac{b_n}{a_n}\}$的前n项和T_n=1+$\frac{3}{3}$+$\frac{5}{{3}^{2}}$+…+$\frac{2n-1}{{3}^{n-1}}$．
$\frac{1}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{2n-3}{{3}^{n-1}}$+$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，
∴$\frac{2}{3}{T}_{n}$=1+2$（\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{3}^{n-1}}）$-$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$=1+2×$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，
∴${T_n}=3-\frac{n+1}{{{3^{n-1}}}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．