Question

2．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=4，BC=$\sqrt{2}$，BD⊥AC，垂足为D，E为棱BB₁上的一点，BD∥平面AC₁E；
（Ⅰ）求线段B₁E的长；
（Ⅱ）求二面角C₁-AC-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段B₁E的长．
（2）求出平面ACE的法向量和平面ACC₁的法向量，利用向量法能求出二面角C₁-AC-E的余弦值．

解答 解：（1）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D垂直于平面ABC的直线为z轴，
建立空间直角坐标系，
D（0，0，0），B（0，$\frac{\sqrt{31}}{4}$，0），B₁（0，$\frac{\sqrt{31}}{4}$，4），
A（$\frac{15}{4}$，0，0），C₁（-$\frac{1}{4}$，0，4），设E（0，$\frac{\sqrt{31}}{4}$，t），
$\overrightarrow{BD}$=（0，-$\frac{\sqrt{31}}{4}$，0），$\overrightarrow{AE}$=（-$\frac{15}{4}$，$\frac{\sqrt{31}}{4}$，t），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-4，0，4），
设平面AC₁E的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=-\frac{15}{4}x+\frac{\sqrt{31}}{4}y+tz=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=-4x+4z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{15-4t}{\sqrt{31}}$，1），
∵BD∥平面AC₁E，
∴$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{n}$=-$\frac{\sqrt{31}}{4}•\frac{15-4t}{\sqrt{31}}$=0，
解得t=$\frac{15}{4}$．∴E（0，$\frac{\sqrt{31}}{4}$，$\frac{15}{4}$），
∴线段B₁E的长|B₁E|=4-$\frac{15}{4}$=$\frac{1}{4}$．
（2）C（-$\frac{1}{4}$，0，0），$\overrightarrow{AC}$=（-4，0，0），$\overrightarrow{AE}$=（-$\frac{15}{4}$，$\frac{\sqrt{31}}{4}$，$\frac{15}{4}$），
设平面ACE的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=-4a=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=-\frac{15}{4}a+\frac{\sqrt{31}}{4}b+\frac{15}{4}c=0}\end{array}\right.$，取b=15，得$\overrightarrow{m}$=（0，15，-$\sqrt{31}$），
平面ACC₁的法向量$\overrightarrow{p}$=（0，1，0），
设二面角C₁-AC-E的平面角为θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{p}|}$=$\frac{15}{\sqrt{225+31}}$=$\frac{15}{16}$．
∴二面角C₁-AC-E的余弦值为$\frac{15}{16}$．

点评 本题考查线段长的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．