Question

7．将（ax²+bx）⁷的展开式按x的次数由大到小的顺序排列，首尾两项的系数之比为128，中间两项的系数之和为840．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求（ax²+bx）⁷•x^-10展开式中的常数项．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二项式展开式的通项公式写出首尾两项和中间两项，
根据题意列出方程组，求出a、b的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知其展开式中的常数项为（2x+1）⁷的展开式中含x³项的系数，
利用通项公式求出即可．

解答 解：（Ⅰ）（ax²+bx）⁷的展开式的通项为
${T_{r+1}}=C_7^r{（a{x^2}）^{7-r}}{（bx）^r}$，
首尾两项依次是$C_7^0{（a{x^2}）^7}{（bx）^0}$和$C_7^7{（a{x^2}）^0}{（bx）^7}$，
中间两项依次是$C_7^3{（a{x^2}）^4}{（bx）^3}$和$C_7^4{（a{x^2}）^3}{（bx）^4}$，
依题知$\left\{\begin{array}{l}{a^7}=128{b^7}\\ 35{a^4}{b^3}+35{a^3}{b^4}=840\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=1.\end{array}\right.$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知（ax²+bx）⁷•x^-10=（2x²+x）⁷•x^-10=（2x+1）⁷•x^-3，
其展开式中的常数项即为（2x+1）⁷的展开式中含x³项的系数，
∵$C_7^4{（2x）^3}=35×8{x^3}=280{x^3}$，
∴（ax²+bx）⁷•x^-10展开式中的常数项为280．

点评 本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题，是中档题．